Question

6．如圖，切線CD、CB分別與⊙O相交于點D、B，AB為⊙O的直徑，AE∥CD交BD于點E，若AB=BC，則sin∠BAE的值為$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 連結(jié)CO、DO、AD，設(shè)CO交BD于F，由切線性質(zhì)和弦切角定理推導出△CDF≌△BDA，由此利用勾股定理和二倍角公式能求出sin∠BAE．

解答 解：連結(jié)CO、DO、AD，設(shè)CO交BD于F，
∵切線CD、切線CB分別與⊙O相交于點D、B，
AB為⊙O的直徑，AE∥CD交BD于點E，AB=BC，
∴CO⊥BD，AB⊥CB，AD⊥BD，CD⊥OD，OD⊥AE，
∴CB=2OB，∠CDB=∠BAD，AB=CD，
∴△CDF≌△BDA，∴AD=DF=BF，
∴∠BDO=∠ABD，∠AOD=2∠ABD，
設(shè)AD=DF=BF=a，則$AB=\sqrt{{a}^{2}+4{a}^{2}}$=$\sqrt{5}a$，
∴sin∠ABD=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，cos∠ABD=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴cos∠AOD=cos2∠ABD=1-2sin²∠ABD=1-2×$\frac{1}{5}$=$\frac{3}{5}$，
∴sin∠BAE=cos$∠AOD=\frac{3}{5}$．
故答案為：$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意弦切角定理、切線性質(zhì)的合理運用．