Question

已知函數(shù)．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

解：f′（x）=a（1+）-=，…（1分）
令h（x）=ax²-2x+a．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)，
f（1）=0，f′（x）=2（1+）-．
曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為f′（1）=2． …（2分）
從而曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-0=2（x-1），
即2x-y-2=0． …（4分）
（2）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）． 設(shè)h（x）=ax²-2x+a，
（a）當(dāng)a≤0時(shí)，h（x）=ax²-2x+a＜0在（0，+∞）上恒成立，
則f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，此時(shí)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．…（6分）
（b）當(dāng)a＞0時(shí)，△=4-4a²，
（�。┤�0＜a＜1，
由f′（x）＞0，即h（x）＞0，得
0＜x＜或x＞；…（8分）
由f′（x）＜0，即h（x）＜0，得＜x＜．…（9分）
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，）和（，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間為（，）． …（11分）
（ⅱ）若a≥1，h（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
則f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，此時(shí)f（x） 在（0，+∞）上單調(diào)遞增． …（13分）
分析：（1）將a=2代入，對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)得到切線的斜率k=f′（1），切點(diǎn)為（1，f（1）），根據(jù)點(diǎn)斜式即可寫出切線方程；
（2）由題意知先求函數(shù)f（x）的定義域，再由（1）得出的導(dǎo)數(shù)，設(shè)h（x）=ax²-2x+．下面對(duì)a進(jìn)行分類討論：①當(dāng)a≤0時(shí)，②當(dāng)若0＜a＜1時(shí)，③當(dāng)a≥1時(shí)，由此可知f（x）的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系．當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減，考查運(yùn)算能力，屬中檔題．