Question

16．若函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-2|，不等式|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x）對(duì)一切t∈R恒成立，k為非零常數(shù)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]．

Answer 1

分析 由|t-k|+|t+k|≥|（t-k）-（t+k）|=2|k|，（|t-k|+|t+k|）_min=2|k|，|t-k|+|t+k|≥|k|f（x）對(duì)于任意t∈R恒成立轉(zhuǎn)化為f（x）≤2  即|x-1|+|x-2|≤2，解絕對(duì)值不等式可得x的取值集合

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x-3，x＞2}\\{1，1≤x≤2}\\{3-2x，x＜1}\end{array}\right.$，
∵|t-k|+|t+k|≥|（t-k）-（t+k）|=2|k|
∴（|t-k|+|t+k|）_min=2|k|
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f（x）≤2，即|x-1|+|x-2|≤2
顯然由$\left\{\begin{array}{l}{2x-3≤2}\\{x＞2}\end{array}\right.$ 得2＜x≤$\frac{5}{2}$或$\left\{\begin{array}{l}{3-2x≤2}\\{x＜1}\end{array}\right.$ 得$\frac{1}{2}≤$x＜1
∴實(shí)數(shù)x的取值集合為[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]
故答案為：[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式的幾何意義，不等式的恒成立轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值問(wèn)題是關(guān)鍵，屬于中檔題，