Question

【題目】對于無窮數(shù)列，若對任意，滿足且（是與無關的常數(shù)），則稱數(shù)列為數(shù)列.

（1）若（），判斷數(shù)列是否為數(shù)列，說明理由；

（2）設，求證：數(shù)列是數(shù)列，并求常數(shù)的取值范圍；

（3）設數(shù)列（，），問數(shù)列是否為數(shù)列？說明理由.

Answer 1

【答案】（1）是數(shù)列，見解析；（2）；證明見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）由，得到，整理后可得當為偶數(shù)時，進而可得得到數(shù)列不是數(shù)列；

（2）由，得到時，，此時數(shù)列單調(diào)遞增，當時，，此時數(shù)列單調(diào)遞減，得到數(shù)列的最大項，由此求得常數(shù)的取值范圍；

（3）當時，對于有，可得當時數(shù)列是數(shù)列，當時，數(shù)列不是數(shù)列，當時，數(shù)列不是數(shù)列.

（1）由，

可得，

當為偶數(shù)時，，所以數(shù)列不是數(shù)列.

（2）證明：因為，

所以當時，即時，，此時數(shù)列單調(diào)遞增，

當時，，此時數(shù)列單調(diào)遞減，

則數(shù)列的最大項為，所以的取值范圍內(nèi)是.

（3）①當時，當時，，

由，解得，

即當時，符合，

若，則，此時，

于是，

由對于，有，所以當時，數(shù)列是數(shù)列；

②當時，取，則，

由，所以當時，數(shù)列不是數(shù)列；

③當時，取，則，

由，所以當時，數(shù)列不是數(shù)列.

綜上可得：當時，數(shù)列是數(shù)列；當時，數(shù)列不是數(shù)列.