Question

（2006•浦東新區(qū)一模）設z是復數(shù)，以下命題中錯誤的是（　　）

• A．z為實數(shù)的充分必要條件是z-

  .

  z

  =0
• B．z為實數(shù)的充分必要條件是z²≥0
• C．z為純虛數(shù)的充分必要條件是z+

  .

  z

  =0
• D．z為純虛數(shù)的充分必要條件是z²＜0

Answer 1

分析：對各選項分別加以判斷：由共軛復數(shù)的定義以及復數(shù)的代數(shù)形式，可得A選項是正確的，C選項是錯誤的；根據(jù)實數(shù)的平方是一個非負數(shù)的性質，可得B選項是正確的；根據(jù)實數(shù)的平方是一個非負數(shù)，并且當且僅當這個數(shù)是零時平方才為零，可得D也是正確的．

解答：解：對于A：設z=a+bi，（a、b為實數(shù)）為實數(shù)的充分必要條件是b=0，而b=0時，
z=a=

.

z

，所以等價于z-

.

z

=0，說明A不錯．
對于B：根據(jù)實數(shù)的平方非負的性質可得，z²≥0則z為實數(shù)，反之也成立，說明B不錯
對于C：z設z=a+bi，（a、b為實數(shù)），則z為純虛數(shù)的定義是a=0且b≠0
說明

.

z

=-bi，z=bi，z+

.

z

=0成立，但是反過來若z+

.

z

=0，有可能z=

.

z

=0，不能使z為純虛數(shù)
所以C是錯誤的；
對于D：純虛數(shù)的一般形式是z=bi（b為非零的實數(shù)），
說明若z是純虛數(shù)，則z²=（bi）²=-b²＜0，說明充分性成立，
反之，若復數(shù)z滿足z²＜0，一方面說明z²是實數(shù)，另一方面說明z是虛數(shù)，說明z必定是純虛數(shù)，所以D也不錯
故選C

點評：本題以復數(shù)的概念為例，考查了充分條件與必要條件的判斷是，屬于基礎題．準確運用復數(shù)的代數(shù)形式結合實數(shù)的有關性質加以判別，是解決本小題的關鍵．