Question

給出下列命題：①若復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z=x-

1

2

i 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在單位圓x²+y²=1內(nèi)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是-

3

2

＜x＜

3

2

；②在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z滿足|z-i|+|z+i|=4，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的軌跡是焦點(diǎn)在虛軸上的橢圓；③若z³=1，則復(fù)數(shù)z一定等于1；④若（x²-1）+（x²+3x+2）i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x=±1，其中，正確命題的序號(hào)是

 

Answer 1

分析：①根據(jù)若復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z=x-

1

2

i 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在單位圓x²+y²=1內(nèi)，得到x2+

1

4

＜1，解不等式得到實(shí)數(shù)x的取值范圍是-

3

2

＜x＜

3

2

知本題正確；②在復(fù)平面內(nèi)，z到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和是一個(gè)定值，根據(jù)橢圓的定義知z軌跡是焦點(diǎn)在虛軸上的橢圓；
③若z³=1，則復(fù)數(shù)z一定等于1，得到z=1，或z=-

1

2

±

3

2

i④要滿足x²-1=0，x²+3x+2≠0，而當(dāng)x=-1時(shí)，x²+3x+2=0

解答：解：①∵若復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z=x-

1

2

i 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在單位圓x²+y²=1內(nèi)，
∴x2+

1

4

＜1，
∴x2＜

3

4

∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是-

3

2

＜x＜

3

2

∴①正確；
②在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z滿足|z-i|+|z+i|=4，
由復(fù)數(shù)的幾何意義知，z到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和是一個(gè)定值4
且4＜2
∴z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的軌跡是焦點(diǎn)在虛軸上的橢圓；
∴②正確；
③若z³=1，則復(fù)數(shù)z一定等于1
當(dāng)復(fù)數(shù)z是一個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)，z=1，
當(dāng)復(fù)數(shù)z是一個(gè)虛數(shù)時(shí)，z=-

1

2

±

3

2

i
∴③不正確；
④若（x²-1）+（x²+3x+2）i是純虛數(shù)，
要滿足x²-1=0，x²+3x+2≠0
而當(dāng)x=-1時(shí)，x²+3x+2=0
∴④不正確．
故答案為：①②

點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)對(duì)于復(fù)數(shù)運(yùn)算的綜合題，包括復(fù)數(shù)的各種運(yùn)算和性質(zhì)，而復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算是比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，在高考時(shí)有時(shí)會(huì)出現(xiàn)，若出現(xiàn)則是要我們一定要得分的題目．