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已知函數f(x)＝x3－ax2＋4x(a＞0)有兩個極值點x1、x2，且f(x)在區(qū)間(0，1)上有最大值，求證：a＞．

答案：
解析：

　　解：(x)=3x2－2ax＋4，∵x1、x2是方程(x)=0的兩實根，∴x1＋x2=，x1x2=＞1．

　　∵a＞0，∴x1＞0，x2＞0．設x1＜x2，則當0＜x1＜1時，x2＞1，∴當0＜x＜x1時，(x)＞0，當x1＜x＜1時，(x)＜0，

　　∴f(x)在區(qū)間(0，1)上有最大值f(x1)(0)＞0，且(1)＜0，即3－2a＋4＜0，即a＞

　　當x1≥1時，x2＞1，∴當0＜x＜1時，(x)＞0，∴f(x)在區(qū)間(0，1)上沒有最大值，故a＞．

　　分析：(1)根據極值點與已知區(qū)間端點的位置，分類討論導函數在區(qū)間上的符號；(2)確定最值點的位置；(3)把二次導函數的特征轉化為關于a的

不等式．

　　點評：三次函數的導函數是二次函數，故可考慮利用導數把原函數的特征轉化為二次函數的特征．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.

(1)求實數m的值；

(2)作出函數f(x)的圖像；

(3)根據圖像指出f(x)的單調遞減區(qū)間；

(4)根據圖像寫出不等式f(x)>0的解集；

(5)求當x∈[1,5)時函數的值域．

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科目：高中數學 來源：新課標高三數學對數與對數函數、反比例函數與冪函數專項訓練（河北） 題型：解答題

已知函數f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝2loga(2x＋t)(t∈R)，其中x∈[0,15]，a＞0，且a≠1.
(1)若1是關于x的方程f(x)－g(x)＝0的一個解，求t的值；
(2)當0＜a＜1時，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求t的取值范圍；

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科目：高中數學 來源：2014屆江西省高二下學期第二次月考文科數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋a.

(1)當a＝0時，解不等式f(x)≥g(x)；

(2)若任意x∈R，f(x)g(x)恒成立，求實數a的取值范圍．

 

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科目：高中數學 來源：2013屆新課標高三配套第四次月考文科數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數f(x)＝x3＋x2－ax－a，x∈R，其中a＞0.

（1）求函數f(x)的單調區(qū)間；

（2）若函數f(x)在區(qū)間(－2,0)內恰有兩個零點，求a的取值范圍；

（3）當a＝1時，設函數f(x)在區(qū)間[t，t＋3]上的最大值為M(t)，最小值為m(t)，記g(t)＝M(t)－m(t)，求函數g(t)在區(qū)間[－3，－1]上的最小值.

 

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年湖南省、岳陽縣一中高三11月聯考理科數學 題型：解答題

（本小題滿分13分）(第一問8分，第二問5分)

已知函數f(x)＝2lnx，g(x)＝ax2＋3x.

（1）設直線x＝1與曲線y＝f(x)和y＝g(x)分別相交于點P、Q，且曲線y＝f(x)和y＝g(x)在點P、Q處的切線平行，若方程f(x2＋1)＋g(x)＝3x＋k有四個不同的實根，求實數k的取值范圍；

（2）設函數F(x)滿足F(x)＋x［f′(x)－g′(x)］＝－3x2－(a＋6)x＋1.其中f′(x)，g′(x)分別是函數f(x)與g(x)的導函數；試問是否存在實數a，使得當x∈(0,1］時，F(x)取得最大值，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由.

 

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