Question

已知△ABC的三邊長為有理數(shù)，
(Ⅰ)求證：cosA是有理數(shù)；
(Ⅱ)求證：對任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。

Answer 1

證明：(Ⅰ)由AB、BC、AC為有理數(shù)及余弦定理知cosA=是有理數(shù)。
(Ⅱ)用數(shù)學歸納法證明cosnA和sinA·sinnA都是有理數(shù)。
①當n=1時，由(Ⅰ)知cosA是有理數(shù)，從而有sinA·sinA=1-cos²A也是有理數(shù)；
②假設當n=k(k≥1)時，coskA和sinA·sinkA都是有理數(shù)，
當n=k+1時，由cos(k+1)A=cosA·coskA-sinA·sinkA，
sinA·sin(k+1)A=sinA·(sinA·coskA+cosA·sinkA)
=(sinA·sinA)·coskA+(sinA·sinkA)·cosA，
及①和歸納假設，知cos(k+1)A與sinA·sin(k+1)A都是有理數(shù)，
即當n=k+1時，結論成立；
綜合①、②可知，對任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。