Question

下表給出一個(gè)“三角形數(shù)陣”：

                                 

                                  ，

                                  ，，

                                  ……

    已知每一列的數(shù)成等差數(shù)列；從第三行起，每一行的數(shù)成等比數(shù)列，每一行的公比都相等.記第i行第j列的數(shù)為a_ij(i≥j,i、j∈N^*).

(1)求a₈₃;

(2)試寫(xiě)出a_ij關(guān)于i、j的表達(dá)式；

(3)記第n行的和為A_n，求數(shù)列{A_n}的前m項(xiàng)和B_m的表達(dá)式.

Answer 1

解：(1)由題知，{a_i1}成等差數(shù)列，

    因?yàn)閍₁₁=,a₂₁=,

    所以，公差d=,a₈₁=+(8-1)·=2.

    又各行成等比數(shù)列，公比都相等，a₃₁=,a₃₂=，

    所以，每行的公比是q=.

    故a₈₃=2×()²=.

(2)由(1)知，a_i1=+(i-1)·=,

    所以，a_ij=a_i1·()^j-1=·()^j-1=i()^j+1.

(3)A_n=a_n1［1++()²+…+()^n-1］=［2-()^n-1］=-n()ⁿ⁺¹,

B_m=(1+2+…+m)-(+++…+).

    設(shè)T_m=+++…+,                                          ①

    則T_m=+++…+.                                  ②

    由①-②，得

T_m=++…+-=1--=1-，

    所以，B_m=·-(1-)=+-1.