Question

5．已知等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)互不相等，前兩項(xiàng)的和為10，設(shè)向量$\overrightarrow{m}$=（a₁，a₃），$\overrightarrow{n}$=（a₃，a₇），且$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$；
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=$\frac{{a}_{n}}{2×{4}^{n}}$，其前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n＜$\frac{7}{9}$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0，a₁+a₂=10，由于$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$，可得${a}_{3}^{2}$-a₁a₇=0，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 （1）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0，a₁+a₂=10，
∵$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$，∴${a}_{3}^{2}$-a₁a₇=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+d=10}\\{（{a}_{1}+2d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+6d）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=4}\\{d=2}\end{array}\right.$，
∴a_n=4+2（n-1）=2n+2．
（2）證明：b_n=$\frac{{a}_{n}}{2×{4}^{n}}$=$\frac{n+1}{{4}^{n}}$，
其前n項(xiàng)和為T_n=$\frac{2}{4}+\frac{3}{{4}^{2}}$+…+$\frac{n+1}{{4}^{n}}$，
$\frac{1}{4}{T}_{n}=\frac{2}{{4}^{2}}+\frac{3}{{4}^{3}}$+…+$\frac{n}{{4}^{n}}$+$\frac{n+1}{{4}^{n+1}}$，
∴$\frac{3}{4}{T}_{n}$=$\frac{2}{4}+\frac{1}{{4}^{2}}+\frac{1}{{4}^{3}}$+…+$\frac{1}{{4}^{n}}$-$\frac{n+1}{{4}^{n+1}}$=$\frac{1}{4}+\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$-$\frac{n+1}{{4}^{n+1}}$=$\frac{7}{12}-\frac{3n+7}{3×{4}^{n+1}}$，
∴T_n=$\frac{7}{9}$-$\frac{3n+7}{9×{4}^{n}}$＜$\frac{7}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．