Question

6．如圖，已知F為拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C在該拋物線上，其中A，C關(guān)于x軸對(duì)稱（A在第一象限），且直線BC經(jīng)過點(diǎn)F．
（Ⅰ）若△ABC的重心為G（$\frac{3}{2}，\frac{4}{3}$），求直線AB的方程；
（Ⅱ）設(shè)S_△ABO=S₁，S_△CFO=S₂，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求S₁²+S₂²的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₁，-y₁），運(yùn)用三角形的重心坐標(biāo)公式和拋物線方程，即可求得A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線方程；
（Ⅱ）通過直線BC，AB的方程和拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，可得恒過定點(diǎn)（-1，0），即有S_△ABO=$\frac{1}{2}$|OE|•|y₂-y₁|=$\frac{1}{2}$|y₂-y₁|，S_△CFO=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁|=$\frac{1}{2}$|y₁|，y₁y₂=4，再由基本不等式計(jì)算即可得到最小值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₁，-y₁），
則△ABC的重心坐標(biāo)為G（$\frac{2{x}_{1}+{x}_{2}}{3}$，$\frac{{y}_{2}}{3}$），
由題意可得2x₁+x₂=$\frac{9}{2}$，且y₂=4，
由y₂²=4x₂，y₁²=4x₁，
可得x₂=4，y₂=4，和x₁=$\frac{1}{4}$，y₁=1，
直線AB的斜率k=$\frac{4-1}{4-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{5}$，
即有直線AB的方程為4x-5y+4=0；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₁，-y₁），
設(shè)直線BC：x=my+1，代入拋物線方程y²=4x，可得
y²-4my-4=0，可得-y₁y₂=-4，即y₁y₂=4，
再設(shè)直線AB：y=kx+n，代入拋物線方程，可得
ky²-4y+4n=0，y₁y₂=$\frac{4n}{k}$=4，即n=k，
則有直線AB：y=k（x+1），即有直線AB恒過定點(diǎn)E（-1，0），
則S_△ABO=$\frac{1}{2}$|OE|•|y₂-y₁|=$\frac{1}{2}$|y₂-y₁|，
S_△CFO=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁|=$\frac{1}{2}$|y₁|，
即有S₁²+S₂²=$\frac{1}{4}$（y₂-y₁）²+$\frac{1}{4}$y₁²=$\frac{2{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}-8}{4}$=$\frac{1}{4}$（2y₁²+$\frac{16}{{{y}_{1}}^{2}}$-8）
≥$\frac{1}{4}$（2$\sqrt{2{{y}_{1}}^{2}•\frac{16}{{{y}_{1}}^{2}}}$-8）=2$\sqrt{2}$-2．
即有S₁²+S₂²的最小值為2$\sqrt{2}$-2，當(dāng)且僅當(dāng)y₁=${2}^{\frac{3}{4}}$，y₂=${2}^{\frac{5}{4}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查聯(lián)立直線方程和拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，屬于中檔題．