Question

如圖是函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c的大致圖象，則|x₁-x₂|=（　�。�

• A、

  4

  3

• B、

  8

  3

• C、

  2 3

  3

• D、

  2 6

  3

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由函數(shù)f（x）的圖象過(guò)三個(gè)已知點(diǎn)，可求出a、b、c，即函數(shù)f（x）的解析式；然后求出其導(dǎo)函數(shù)f′（x）；而x₁、x₂是方程f′（x）=0的兩根，則利用韋達(dá)定理即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c的零點(diǎn)有1、0、2．
∴

f(0)=0 f(1)=0 f(2)=0

，即

c=0 1+a+b+c=0 8+4a+2b+c=0

，解得a=-3，b=2，c=0．
∴f（x）=x³-3x²+2x，
∴f′（x）=3x²-6x+2．
又x₁、x₂是f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，∴x₁、x₂是方程3x²-6x+2=0的兩個(gè)根．
則x₁+x₂=

6

3

=2，x₁•x₂=

2

3

因此|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=4-4×

2

3

=

4

3

．
∴|x₁-x₂|=

4 3

=

2 3

3

，
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．確定函數(shù)的解析式，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．