Question

【題目】已知函數(shù).

(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；

(2)是否存在實數(shù)，使得函數(shù)的極值大于?若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間

為；當時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間. （2）存在，范圍為

【解析】

試題（1）函數(shù)的定義域為，.

① 當時，，∵∴，∴ 函數(shù)單調遞增區(qū)間為

② 當時，令得，即，.

（ⅰ）當，即時，得，故，

∴ 函數(shù)的單調遞增區(qū)間為.

（ⅱ）當，即時，方程的兩個實根分別為，.

若，則，此時，當時，.

∴函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，若，則，此時，當時，，當時，

∴函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.

綜上所述，當時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間

為；當時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間.

（2）由(1)得當時，函數(shù)在上單調遞增，故函數(shù)無極值

當時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，

∴有極大值，其值為，其中.

∵，即， ∴.

設函數(shù)，則，

∴在上為增函數(shù)，又，則 ，

∴ .

即，結合解得，∴實數(shù)的取值范圍為.