Question

 四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱⊥底面，，是的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明//平面；            

（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在點(diǎn)，使⊥平面？若存在，請求出點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）；（3）棱上存在點(diǎn)，，使得⊥平面。

【解析】解：（Ⅰ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系 設(shè)PD=DC=2，則A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），

B（2，2，0）.

設(shè) 是平面BDE的一個法向量，

則由   

 

（II）由（Ⅰ）知是平面的一個法向量，

又是平面的一個法向量.

設(shè)二面角--的平面角為，由圖可知 

∴ 

故二面角--的余弦值為 

（Ⅲ）∵ ∴ 

假設(shè)棱上存在點(diǎn)，使⊥平面，設(shè)，

則，

由

∴

即在棱上存在點(diǎn)，，使得⊥平面 。