Question

數列{a_n}中，a₁=1，當n≥2時，其前n項和S_n滿足S_n²=a_n（S_n-1）．
（1）求證：數列{

1

Sn

}是等差數列；
（2）設b_n=log₂

Sn

Sn+2

，數列{b_n}的前n項和為T_n，求滿足T_n≥6的最小正整數n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a_n=S_n-S_n-1代入題設遞推式整理求得

1

Sn

-

1

Sn-1

=1，進而利用等差數列的定義推斷出數列{

1

Sn

}是等差數列
（Ⅱ）依據（Ⅰ）可求得數列{

1

Sn

}的通項公式，代入b_n中求得其表達式，進而利用對數運算的法則求得T_n，根據T_n≥6利用對數函數的單調性求得n的范圍，進而求得最小正整數n．

解答：解（Ⅰ）∵S_n²=a_n（S_n-1）∴S_n²=（S_n-S_n-1）（S_n-1）（n≥2）
∴S_nS_n-1=S_n-1-S_n，即

1

Sn

-

1

Sn-1

=1，
∴{

1

Sn

}是1為首項，1為公差的等差數列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知Sn=

1

n

，∴bn=log2

n+2

n

，
∴Tn=log2(

3

1

×

4

2

×

5

3

×

6

4

×…×

n+2

n

)=log2

(n+1)(n+2)

2

≥6，
∴（n+2）（n+1）≥128∵n∈N+_ 
∴n≥10，
所以滿足T_n≥6的最小正整數為10．

點評：本題主要考查了數列的遞推式，等差關系的確定，數列的通項公式和求和公式．