某小區(qū)想利用一矩形空地
建市民健身廣場，設(shè)計時決定保留空地邊上的一水塘（如圖中陰影部分），水塘可近似看作一個等腰直角三角形，其中
，
，且
中，
，經(jīng)測量得到
．為保證安全同時考慮美觀，健身廣場周圍準(zhǔn)備加設(shè)一個保護欄．設(shè)計時經(jīng)過點
作一直線交
于
，從而得到五邊形
的市民健身廣場，設(shè)
．
（1）將五邊形的面積
表示為
的函數(shù)；
（2）當(dāng)
為何值時，市民健身廣場的面積最大？并求出最大面積．
（1）
；（2）當(dāng)
時，到的市民健身廣場面積最大，最大面積為
.
解析試題分析：（1）根據(jù)題意分析可考慮作
，垂足為
，從而可將五邊形的面積轉(zhuǎn)化為梯形
與矩形
的面積之和，由
∽
結(jié)合條件，可將梯形的上底，下底與高以及矩形的長和寬都用含的代數(shù)式表示出來，從而可得：
，再由
，可得
；（2）由（1）及條件可知，問題就等價于求函數(shù)在
上的最大值，而將其變形后可得：
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，“=”成立，從而當(dāng)時，到的市民健身廣場面積最大，最大面積為.
試題解析：（1）如圖，作，垂足為，
∵
，∴
，又由∽，∴
，
∵
，∴
， 2分
過
作
交
于
，
則
，
所以
， 7分
由于
與
重合時，
適合條件，故； 8分
（2）由（1）得：
， 10分
∴當(dāng)且僅當(dāng)
，即
時，
取得最大值
， 13分
即當(dāng)
時，得到的市民健身廣場面積最大，最大面積為． 14分
考點：1.函數(shù)的運用；2.基本不等式求最值.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
在自然條件下，某草原上野兔第n年年初的數(shù)量記為xn,該年的增長量yn和 xn與
的乘積成正比，比例系數(shù)為
，其中m是與n無關(guān)的常數(shù)，且x1<m，
(1)證明：
;
(2)用 xn表示xn+1;并證明草原上的野兔總數(shù)量恒小于m.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知
，函數(shù)
.
⑴若不等式
對任意
恒成立，求實數(shù)
的最值范圍；
⑵若
，且函數(shù)
的定義域和值域均為
，求實數(shù)的值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
某房地產(chǎn)開發(fā)商投資81萬元建一座寫字樓，第一年需維護費用為1萬元，以后每年增加2萬元，若把寫字樓出租，每年收入租金30萬元．
（1）開發(fā)商最早在第幾年獲取純利潤？
（2）若干年后開發(fā)商為了投資其它項目，有兩種處理方案：①純利潤最大時，以10萬元出售該樓；②年平均利潤最大時以46萬元出售該樓．問哪種方案更優(yōu)？并說明理由？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)
萬件，需另投入的成本為
（單位：萬元），當(dāng)年產(chǎn)量小于80萬件時，
;當(dāng)年產(chǎn)量不小于80萬件時，
.假設(shè)每萬件該產(chǎn)品的售價為50萬元，且該廠當(dāng)年生產(chǎn)的該產(chǎn)品能全部銷售完.
（1）寫出年利潤
（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬件）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）年產(chǎn)量為多少萬件時，該廠在該產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知二次函數(shù)
的二次項系數(shù)為
，且不等式
的解集為（1，3）．
⑴若方程
有兩個相等實數(shù)根，求的解析式．
⑵若的最大值為正數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．
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，
，若
，則實數(shù)a
的值．