設(shè)雙曲線C：
x2
2
-y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2垂直于x軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)p，Q．
（1）若直線m與x軸正半軸的交點(diǎn)為T，且
A1P
•
A2Q
=1，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；
（2）求直線A1P與A2Q的交點(diǎn)M的軌跡E的方程．
（1）由題意得A1(-
2
，0)，A2(
2
，0)，設(shè)P（x0，y0），Q（x0，-y0），
則
A1P
=(x0+
2
，y0)，
A2Q
=(x0-
2
，-y0)．
由
A1P
•
A2Q
=1?
x20
-
y20
-2=1，
即x02-y02=3，①…（3分）
又P（x0，y0）在雙曲線上，則
x20
2
-
y20
=1．②
聯(lián)立①、②，解得：x0=±2，由題意，x0＞0，
∴x0=2，
∴點(diǎn)T的坐標(biāo)為（2，0）…（6分）
（2）設(shè)直線A1P與A2Q的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），
由A1，P，M三點(diǎn)共線，得：(x0+
2
)y=y0(x+
2
)，①
由A2，Q，M三點(diǎn)共線，得：(x0-
2
)y=-y0(x-
2
)，②
聯(lián)立①、②，解得：x0=
2
x
，y0=
2
y
x
．…（9分）
∵P（x0，y0）在雙曲線上，
∴
(
2
x
)2
2
-(
2
y
x
)2=1
∴軌跡E的方程為
x2
2
+y2=1(x≠0，y≠0)．…（12分）
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)雙曲線C：
x2
2
-y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，垂直于x軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)P、Q．
（1）若直線m與x軸正半軸的交點(diǎn)為T，且
A1P
•
A2Q
=1，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；
（2）求直線A1P與直線A2Q的交點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（3）過(guò)點(diǎn)F（1，0）作直線l與（2）中的軌跡E交于不同的兩點(diǎn)A、B，設(shè)
FA
=λ•
FB
，若λ∈[-2，-1]，求|
TA
+
TB
|（T為（1）中的點(diǎn)）的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)雙曲線C：
x2
2
-y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，垂直于x軸的直線l與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)P、Q．若直線l與x軸正半軸的交點(diǎn)為M，且
A1P
•
A2Q
=1，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（　�。�
A、（
3
2
，0）
B、（2，0）
C、（
3
，0）
D、（3，0）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)雙曲線C：
x2
2
-y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2垂直于x軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)p，Q．
（1）若直線m與x軸正半軸的交點(diǎn)為T，且
A1P
•
A2Q
=1，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；
（2）求直線A1P與A2Q的交點(diǎn)M的軌跡E的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)雙曲線C：
x2
2
-y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，垂直于x軸的直線a與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)S、T．
（1）求直線A1S與直線A2T的交點(diǎn)H的軌跡E的方程；
（2）設(shè)A，B是曲線E上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AB的中垂線與曲線E交于P，Q兩點(diǎn)，直線l：x=
1
2
，線段AB的中點(diǎn)M在直線l上，若F（1，0），求
FP
•
FQ
的取值范圍．

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