Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{1+|x|}$（x∈R） 時，則下列結論正確的是（　�。�
（1）?x∈R，等式f（-x）+f（x）=0恒成立
（2）?m∈（0，1），使得方程|f（x）|=m有兩個不等實數(shù)根
（3）?x₁，x₂∈R，若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）
（4）?k∈（1，+∞），使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在R上有三個零點．

• A． （1）（2）
• B． （2）（3）
• C． （1）（2）（3）
• D． （1）（3）（4）

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）=$\frac{x}{1+|x|}$的圖象，分析函數(shù)f（x）=$\frac{x}{1+|x|}$的性質，逐一分析四個結論的正誤，可得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{x}{1+|x|}$的圖象如下圖所示：

對于（1），由圖可得：函數(shù)圖象關于原點對稱，函數(shù)為奇函數(shù)，
∴?x∈R，等式f（-x）+f（x）=0恒成立，故（1）正確；
對于（2），?m∈（0，1），|f（x）|=m時，|f（-x）|=m，
∴方程|f（x）|=m均有兩個不等實數(shù)根，故（2）正確；
對于（3），函數(shù)在定義R為增函數(shù)，
∴?x₁，x₂∈R，若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂），故（3）正確；
對于（4），當k∈（1，+∞），使得函數(shù)f（x）的圖象與y=k僅交于原點，
∴?k∈（1，+∞），函數(shù)g（x）=f（x）-kx在R上僅有一個零點．故（4）錯誤，
故選：C．

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了函數(shù)的單調性，奇偶性，零點，全稱命題與特稱命題等知識點，難度中檔．