Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）滿足f（-1）=0，f（1）=1，且對任意實數(shù)x都有f（x）-x≥0，求f（x）的解析式．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知條件，可得

a-b+c=0 a+b+c=1 (b-1)2-4ac=0

，解方程組求出a，b，c的值，代入可求出f（x）的解析式．

解答： 解：∵二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）滿足f（-1）=0，f（1）=1，
且對任意實數(shù)x都有f（x）-x≥0，
而f（1）=1，即f（1）-1=0，方程f（x）-x=0有解x=1，
則必有（b-1）²-4ac≥0，
∴

a-b+c=0 a+b+c=1 (b-1)2-4ac=0

即

b= 1 2 a+c= 1 2 ac≤ 1 16

，當(dāng)a=c=

1

4

時，ac=

1

16

，
此時

b= 1 2 a=c= 1 4

∴f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

．

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)解析式的求法，其中根據(jù)已知構(gòu)造方程組

a-b+c=0 a+b+c=1 (b-1)2-4ac=0

是解答的關(guān)鍵．