Question

已知數(shù)列是各項均不為0的等差數(shù)列，公差為d，為其前n項和，且滿足,．數(shù)列滿足,， 為數(shù)列的前n項和．

（1）求數(shù)列的通項公式和數(shù)列的前n項和；

（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）．           ……9分

（3） 存在        

【解析】試題分析：(1)由可令n=1,n=2得到關(guān)于a₁與d的兩個方程，從而可解出a₁和d,得到a_n的通項公式.因為,所以顯然要采用裂項求和的方法求出其前n項和.

(2)因為本小題是關(guān)于n的不等式恒成立問題，應(yīng)對n的奇偶進行討論.分別再對得到的結(jié)果求交集.

（3）解本小題的關(guān)鍵由，

若成等比數(shù)列，則，即．

從而得,據(jù)此得到m的范圍，找到m的值，進一步得到n的值.

解：（1）在中，令，，

得   即      ……1分

解得，，                 ……2分

又時，滿足，

，    ……3分

．   ……4分

（2）①當為偶數(shù)時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．    ……5分

 ，等號在時取得

此時 需滿足                      ……6分

②當為奇數(shù)時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．     ……7分

 是隨的增大而增大， 時取得最小值．

此時 需滿足．           ……8分

綜合①、②可得的取值范圍是．           ……9分

（3），

若成等比數(shù)列，則，……10分

即．                         

由，可得，  ……12分

即，

．           ……13分     

又，且，所以，此時．

因此，當且僅當， 時，數(shù)列中的成等比數(shù)列．    …14分

 [另解] 因為，故，即，

．

考點：本小題主要考查等差、等比數(shù)列的定義、通項、求和、對數(shù)的運算、直線方程與不等式等知識，考查化歸、轉(zhuǎn)化、方程的數(shù)學思想方法，以及抽象概括能力、運算求解能力、創(chuàng)新能力和綜合應(yīng)用能力.

點評：（1）由a_n與S_n的關(guān)系求通項要注意根據(jù)需要給n賦值，每賦一個值就可得到一個方程.

（2）有關(guān)n的不等式恒成立問題，要注意題目當中如果有要注意按n為奇偶進行討論.

（3）解小題的關(guān)鍵是利用成等比數(shù)列,建立n與m的等式關(guān)系，下一步難點在于對式子的變形處理上，要注意體會其方法.