Question

8．已知A（-2，0）是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與圓F：（x-c）²+y²=9的一個(gè)交點(diǎn)，且圓心F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，
（1）求橢圓C的方程；
（2）過F的直線交圓與P、Q兩點(diǎn)，連AP、AQ分別交橢圓與M、N點(diǎn)，試問直線MN是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，則求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（-2，0）代入圓F：（x-c）²+y²=9的方程，可得（-2-c）²=9，c＞0，解得c．可得F（1，0），A（-2，0）為橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，可得a．即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）由∠PAQ所對的弦是直徑PQ．設(shè)直線AP的方程為：y=k（x+2），同理可得直線AQ的方程為：y=-$\frac{1}{k}$（x+2）．分別與橢圓方程聯(lián)立可得：x_M，y_M．x_N，y_N．直線MN的方程為：y-y_M=$\frac{{y}_{M}-{y}_{N}}{{x}_{M}-{x}_{N}}$（x-x_M），令y=0，則x=$\frac{{y}_{M}{x}_{N}-{y}_{N}{x}_{M}}{{y}_{M}-{y}_{N}}$，即可得出．

解答 解：（1）把A（-2，0）代入圓F：（x-c）²+y²=9的方程，可得（-2-c）²=9，c＞0，解得c=1．
可得F（1，0），
A（-2，0）為橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，∴a=2．
∴b²=a²-c²=3．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）∵∠PAQ所對的弦是直徑PQ．
設(shè)直線AP的方程為：y=k（x+2），
同理可得直線AQ的方程為：y=-$\frac{1}{k}$（x+2）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為：（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，
-2+x_M=$\frac{-16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，解得x_M=$\frac{6-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，y_M=k（x_M+2）=$\frac{12k}{3+4{k}^{2}}$．
同理可得：x_N=$\frac{6{k}^{2}-8}{3{k}^{2}+4}$，y_N=$-\frac{1}{k}$（x_N+2）=-$\frac{12k}{3{k}^{2}+4}$．
直線MN的方程為：y-y_M=$\frac{{y}_{M}-{y}_{N}}{{x}_{M}-{x}_{N}}$（x-x_M），
令y=0，則x=$\frac{{y}_{M}{x}_{N}-{y}_{N}{x}_{M}}{{y}_{M}-{y}_{N}}$=$-\frac{2}{7}$．
因此可得：直線MN過定點(diǎn)$（-\frac{2}{7}，0）$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、直線過定點(diǎn)問題、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．