Question

如圖，兩條相交線段AB、PQ的四個端點都在橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上，其中，直線AB的方程為x=m，直線PQ的方程為y=

1

2

x+n．
（Ⅰ）若n=0，∠BAP=∠BAQ，求m的值；
（Ⅱ）探究：是否存在常數m，當n變化時，恒有∠BAP=∠BAQ？

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由∠BAP=∠BAQ，知k_AP+k_AQ=0．由此能求出m．
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由

x2 4 + y2 3 =1 y= 1 2 x+n

，得4y²-6ny+3n²-3=0．利用韋達定理結合對稱性進行分類討論，得到存在常數m，當n變化時，恒有∠BAP=∠BAQ．

解答： （本題滿分15分）
解：（Ⅰ）由

x2 4 + y2 3 =1 y= 1 2 x

，解得P(-

3

，-

3

2

)，Q(

3

，

3

2

)．…（2分）
∵∠BAP=∠BAQ，∴k_AP+k_AQ=0．
設A（m，y），則

y+ 3 2

m+ 3

+

y- 3 2

m- 3

=0，
化簡得2my=3，…（5分）
又

m2

4

+

y2

3

=1，聯立方程組，解得m=±1，或m=±

3

．
∵AB平分∠PAQ，∴m=±

3

不合，∴m=±1．…（7分）
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

x2 4 + y2 3 =1 y= 1 2 x+n

，得4y²-6ny+3n²-3=0．
△=12（4-n²），y1+y2=

3n

2

，y1y2=

3(n2-1)

4

．…（9分）
若存常數m，當n變化時，恒有∠BAP=∠BAQ，
則由（Ⅰ）知只可能m=±1．
①當m=1時，取A(1，

3

2

)，∠BAP=∠BAQ等價于

y1- 3 2

x1-1

+

y2- 3 2

x2-1

=0，
即（2y₁-3）（2y₂-2n-1）+（2y₂-3）（2y₁-2n-1）=0，
即4y₁y₂+3（2n+1）=2（n+2）（y₁+y₂），
即3（n²-1）+3（2n+1）=3n（n+2），此式恒成立．
∴存常數m=1，當n變化時，恒有∠BAP=∠BAQ．…（13分）
②當m=-1時，取A(-1，-

3

2

)，
由對稱性同理可知結論成立．
∴存常數m=±1，當n變化時，恒有∠BAP=∠BAQ．…（15分）

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系的綜合應用，綜合性質強，難度大，具有一定的探究性，對數學思維的要求較高．