已知F（x）=
∫
x
0
(t2+2t-8)dt，（x＞0）．
（1）求F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)F（x）在[1，3]上的最值．
分析：（1）由定積分計算公式，結合微積分基本定理算出F(x)=
1
3
x3+x2-8x．再利用導數(shù)，研究F'（x）的正負，即可得到函數(shù)F（x）的單調(diào)增區(qū)間是（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，2）．
（2）根據(jù)F（x）的單調(diào)性，分別求出F（1）、F（2）、F（3）的值并比較大小，可得F（x）在[1，3]上的最大值是F（3）=-6，最小值是F(2)=-
28
3
．
解答：解：依題意得，F(x)=
∫
x
0
(t2+2t-8)dt=(
1
3
t3+t2-8t)
|
x
0
=
1
3
x3+x2-8x，
定義域是（0，+∞）．（2分）
（1）F'（x）=x2+2x-8，
令F'（x）＞0，得x＞2或x＜-4； 令F'（x）＜0，得-4＜x＜2，
且函數(shù)定義域是（0，+∞），
∴函數(shù)F（x）的單調(diào)增區(qū)間是（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，2）．（6分）
（2）令F'（x）=0，得x=2（x=-4舍），
由于函數(shù)在區(qū)間（0，2）上為減函數(shù)，區(qū)間（2，3）上為增函數(shù)，
且F(1)=-
20
3
，F(2)=-
28
3
，F(xiàn)（3）=-6，
∴F（x）在[1，3]上的最大值是F（3）=-6，最小值是F(2)=-
28
3
．（10分）
點評：本題利用定積分求一個函數(shù)的原函數(shù)，并研究原函數(shù)的單調(diào)性和閉區(qū)間上的最值．著重考查了定積分計算公式、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值等知識，屬于中檔題．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=（
1
3
）x-log2x，實數(shù)a、b、c滿足f（a）f（b）f（c）＜0，（0＜a＜b＜c）若實數(shù)x0是方程f（x）=0的一個解，那么下列不等式中，不可能成立的是（　�。�
A、x0＜a
B、x0＞b
C、x0＜c
D、x0＞c

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=log2
1-x
1+x
 （-1＜x＜1）．
（1）若f（a）+f（b）=0，求證：a+b=0；
（2）設f(
1
2
)+f(
1
3
)=f(x0)，求x0的值；
（3）設x1、x2∈（-1，1），是否存在x3∈（-1，1），使得f（x1）+f（x2）=f（x3），若存在，求出x3，并證明你的結論；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=ax-lnx，g(x)=-
1
2
ax2+(2a-1)x，A∈R．
（Ⅰ）當x∈（0，e]時，f（x）的最小值是3，求a的值；
（Ⅱ）記函數(shù)y=F（x）的圖象為曲線C．設點A（x1，y1），B（x2，y2）是曲線C上的不同兩點．如果在曲線C上存在點M（x0，y0），使得：①x0=
x1+x2
2
；②曲線C在點M處的切線平行于直線AB，則稱函數(shù)F（x）存在“中值相依切線”．試問：函數(shù)G（x）=g（x）-f（x），是否存在“中值相依切線”，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知F（x）=
∫x0
(t2+2t-8)dt，（x＞0）．
（1）求F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)F（x）在[1，3]上的最值．

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