Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)（）．

（1）試討論在區(qū)間上的單調(diào)性；

（2）當時，曲線上總存在相異兩點，，使得曲線在點，處的切線互相平行，求證：.

 

Answer 1

【答案】

（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增． （2）證明：見解析。

【解析】本試題主要是考查了導數(shù)在研究函數(shù)的運用。

（1）由已知，，根據(jù)導數(shù)的符號判定函數(shù)單調(diào)性，得到結(jié)論。

（2）因為由題意可得，當時，（，且）.

即  ，

所以，.，借助于不等式來證明。

（1）由已知，.

          

由，得，.   因為，所以,且．

所以在區(qū)間上，；在區(qū)間上，.

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．             ……………6分

（2）證明：由題意可得，當時，（，且）.

即  ，

所以，.      ………8分

因為，且，所以恒成立，

所以，又，

所以，整理得.         

令，因為，所以在上單調(diào)遞減，

所以在上的最大值為，  所以.…………12分