Question

在△ABC中，tanA，tanB，tanC依次成等差數(shù)列，則B的取值范圍是（　　）

• A、（0，

  π

  3

  ]∪（

  π

  2

  ，

  2π

  3

  ]
• B、（0，

  π

  6

  ]∪（

  π

  2

  ，

  5π

  6

  ]
• C、[

  π

  6

  ，

  π

  2

  ）
• D、[

  π

  3

  ，

  π

  2

  ）

Answer 1

分析：由已知先求出2tanB=tanA+tanC＞0，tanAtanC=3．再由（2tanB）²=（tanA+tanC）²=tan²A+tan²C+2tanAtanC≥4tanAtanC=12，求出tanB≥

3

，從而得到B的取值范圍．

解答：解：由已知得2tanB=tanA+tanC＞0（顯然tanB≠0，若tanB＜0，因?yàn)閠anA＞0且tanC＞0，tanA+tanC＞0，這與tanB＜0矛盾），
又tanB=-tan（A+C）=-

tanA+tanC

1-tanAtanC

=-

2tanB

1-tanAtanC

≠0，所以tanAtanC=3．
又（2tanB）²=（tanA+tanC）²=tan²A+tan²C+2tanAtanC≥4tanAtanC=12，
因此tan²B≥3，又tanB＞0，所以tanB≥

3

，

π

3

≤B＜

π

2

，即B的取值范圍是[

π

3

，

π

2

），
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題借助等差數(shù)列的性質(zhì)考查三解函數(shù)知識(shí)，體現(xiàn)了出題者的智慧，解題時(shí)要注意三角函數(shù)公式的靈活運(yùn)用．