Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F₂（3，0），離心率為e．
（Ⅰ）若e=

3

2

，求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx（k＞0）與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若

AF2

•

BF2

=0，求k²+

81

a4-18a2

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由e=

3

2

，右焦點(diǎn)為F₂（3，0），求出a，c，可得b，即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）直線y=kx（k＞0）與橢圓聯(lián)立，由根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合數(shù)量積公式，即可求k²+

81

a4-18a2

的值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得

c=3 c a = 3 2

，所以a=2

3

．
又由a²=b²+c²，解得b²=3．
所以橢圓的方程為

x2

12

+

y2

3

=1．                                          …（4分）
（Ⅱ）由

y=kx x2 a2 + y2 b2 =1

得（b²+a²k²）x²-a²b²=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根與系數(shù)的關(guān)系可知，x₁+x₂=0，且x1x2=-

a2b2

b2+a2k2

．   …（7分）
又

AF2

=(3-x1 ，  -y1) ，  

BF2

=(3-x2 ，  -y2)．
所以

AF2

•

BF2

=(3-x1)(3-x2)+y1y2=(1+k2)x1x2+9=0．
即

-a2(a2-9)(1+k2)

a2k2+(a2-9)

+9=0．                                            …（9分）
整理得k2=

a4-18a2+81

-a4+18a2

=-1-

81

a4-18a2

．                                …（11分）
所以k2+

81

a4-18a2

=-1．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．