【題目】如圖，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是正三角形，點M、N分別是B1C1和A1B1的中點，AA1＝AB＝BM＝2，∠A1AB＝60°．

（1）求證：BN⊥平面A1B1C1；

（2）求二面角A1﹣AB﹣M的余弦值．

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）要證平面，只需證明，；

（2）建立坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量，平面的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角的余弦值.

（1）證明：連接MN，A1B，

∵側(cè)面是ABB1A1菱形，且∠A1AB＝60°，∴△A1BB1為正三角形．

∵N是A1B1的中點，∴BN⊥A1B1，

∵AA1＝AB＝BM＝2，∴BN＝，MN＝1，∴BN2+MN2＝BM2，∴BN⊥MN，

∵A1B1∩MN＝N，∴BN⊥平面A1B1C1；

（2）取AB的中點E，連接A1E，則A1E∥BN，由（1）知A1E⊥平面ABC，

以E為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則E（0，0，0），A（﹣1，0，0），B（1，0，0），C（0，，0），A（0，0，），B1（2，0，），

設(shè)M（x，y，z），由得，

∴，

∴,

平面ABA1的一個法向量為（0，1，0），

設(shè)平面MAB的法向量（x，y，z），則 ，

∴（0，﹣2，1），

∴ ，

∴二面角A1﹣AB﹣M的余弦值為．

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖,棱長為的正方體的頂點在平面內(nèi),三條棱,,都在平面的同側(cè). 若頂點,到平面的距離分別為,;

（1）求平面與平面所成銳二面角的余弦值;

（2）求頂點到面的距離.

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【題目】已知雙曲線的離心率為2，左右焦點分別為，，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，且的周長為．

（1）求雙曲線C的方程；

（2）已知直線，點P是雙曲線C上的動點，求點P到直線l的距離的最小值．

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【題目】如圖，點分別是圓心在原點，半徑為和的圓上的動點.動點從初始位置開始，按逆時針方向以角速度作圓周運動，同時點從初始位置開始，按順時針方向以角速度作圓周運動.記時刻，點的縱坐標(biāo)分別為.

（Ⅰ）求時刻，兩點間的距離；

（Ⅱ）求關(guān)于時間的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)時，這個函數(shù)的值域.

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【題目】在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.為曲線上的動點，點在射線上，且滿足.

（Ⅰ）求點的軌跡的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)與軸交于點，過點且傾斜角為的直線與相交于兩點，求的值.

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【題目】(2018·湖南師大附中摸底)已知直線l經(jīng)過點P(－4，－3)，且被圓(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦長為8，則直線l的方程是________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一個盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1，2，3，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同．隨機有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c．

（1）求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率；

（2）求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足|a﹣b|＜c”的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在四邊形ABCD中，AC＝CD＝AB＝1， ，sin∠BCD＝.

(1)求BC邊的長；

(2)求四邊形ABCD的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】正數(shù)數(shù)列、滿足：≥，且對一切k≥2，k，是與的等差中項，是與的等比中項．

（1）若，，求，的值；

（2）求證：是等差數(shù)列的充要條件是為常數(shù)數(shù)列；

（3）記，當(dāng)n≥2(n)時，指出與的大小關(guān)系并說明理由．

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