如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點(diǎn)，M是棱PC上的點(diǎn)，PA=PD=2，BC=
1
2
AD=1，CD=
3
．
（1）求證：平面PQB⊥平面PAD；
（2）設(shè)PM=2MC，求二面角M-BQ-C的余弦．
考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,平面與平面垂直的判定
專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（1）由于BC∥AD，BC=
1
2
AD，Q為AD的中點(diǎn)，可判定四邊形BCDQ為平行四邊形，于是QB∥CD．已知CD⊥AD，可得BQ⊥AD．由于平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD
=AD，利用線面垂直的性質(zhì)定理可得：平面PQB⊥平面PAD；
（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的兩個半平面的法向量的夾角即可得出．
解答： （1）證明：∵BC∥AD，BC=
1
2
AD，Q為AD的中點(diǎn)，
∴BC
∥
.
QD，
∴四邊形BCDQ為平行四邊形，
∴QB∥CD．
∵CD⊥AD，
∴BQ⊥AD．
∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，
∴平面PQB⊥平面PAD；
（2）解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則Q（0，0，0），B(0，
3
，0)，C(-1，
3
，0)，D（-1，0，0），P(0，0，
3
)．
∵
PM
=2
MC
，∴
QM
-
QP
=2(
QC
-
QM
)，∴3
QM
=2
QC
+
QP
=2(-1，
3
，0)+(0，0，
3
)=(-2，2
3
，
3
)，
∴
QM
=(-
2
3
，
2
3
3
，
3
3
)，即M(-
2
3
，
2
3
3
，
3
3
)．
設(shè)平面BMQ的法向量為
m
=（x，y，z），則
m
•
QM
=-
2
3
x+
2
3
3
y+
3
3
z=0
m
•
QB
=
3
y=0
，取x=
3
，則y=0，z=2．
∴
m
=(
3
，0，2)．
取平面BCDQ的法向量
n
=（0，0，1）．
∴cos＜
m
，
n
＞=
m
•
n
|
m
| |
n
|
=
2
7
=
2
7
7
．
∴二面角M-BQ-C的余弦為
2
7
7
．
點(diǎn)評：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)定理、線面垂直的性質(zhì)、建立空間直角坐標(biāo)系利用二面角的兩個半平面的法向量的夾角求異面直線所成的角等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l的方程為
3
x-y+
3
3
=0，則它的傾斜角為（　　）
A、
π
6
B、
π
3
C、
2π
3
D、
5π
6

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{an}滿足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=
n
2
（n∈N*）前n項和為Sn；數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b1=2，其前n項和Tn滿足Tn=nλ•bn+1（λ為常數(shù)，且λ＜1）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式及λ的值；
（2）設(shè)cn=
n
an
，求數(shù)列{cn}的前n項的和Pn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，梯形BCDE中，DE∥BC，CD⊥DE，ED=DC=
2
，AB=BC=2
2
，AB⊥面BCDE，F(xiàn)為AB中點(diǎn)．
求證：
（Ⅰ）EF∥面ACD；
（Ⅱ）CE⊥面ABE；
（Ⅲ）求三棱錐D-AEC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1，底面ABCD為菱形，∠ADC=120°，E為CC1延長線上一點(diǎn)．
（1）當(dāng)CE=2CC1時，證明：A1E∥平面B1AD；
（2）是否存在實(shí)數(shù)λ，當(dāng)CE=λCC1時，使得平面EB1D1⊥平面A1BD？若存在，求出λ的值；若不存在請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為
x=5cosθ
y=5sinθ
（θ為參數(shù)），直線l經(jīng)過點(diǎn)P（3，2），且傾斜角為
π
3
．
（Ⅰ）寫出直線l的參數(shù)方程和圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，求|PA|•|PB|的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

一個盒子中裝有6個小球，其中紅色球4個，編號分別為1，2，3，4；白色球2個，編號分別為3，4，現(xiàn)從盒子中任取3個小球（假設(shè)每個小球從盒中被取出的可能性相同）
（Ⅰ）求取出的3個球中的編號最大數(shù)值為3的概率；
（Ⅱ）在取出的3個球中，記紅色球編號最大數(shù)值為ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
2
x2-（m+1）x+mlnx，m＞0．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A（x0，f（x0））（x0＞1）為f（x）的圖象上任意一點(diǎn)，若曲線y=f（x）在點(diǎn)A處的切線的斜率恒大于-1，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn=2-an，n∈N*
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=2nan，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，證明：Tn≥2．

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同步練習(xí)冊答案