Question

已知圓P：（x-a）²+（y-b）²=r²（r≠0），滿足：①截y軸所得弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3：1．求在滿足條件①②的所有圓中，使代數式a²-b²-2b+4取得最小值時圓的方程．

Answer 1

解：如下圖所示，圓心坐標為P（a，b），半徑為r，則點P到x軸，y軸的距離分別為|b|，|a|．
∵圓P被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3：1，
∴∠APB=90°．
取AB的中點D，連接PD，
則有|PB|=|PD|，∴r=|b|．
取圓P截y軸的弦的中點C，連接PC，PE．
∵圓截y軸所得弦長為2，
∴|EC|=1，∴1+a²=r²，
即2b²-a²=1．
則a²-b²-2b+4=b²-2b+3=（b-1）²+2．
∴當b=1時，a²-b²-2b+4取得最小值2，
此時a=1，或a=-1，r²=2．
對應的圓為：（x-1）²+（y-1）²=2，
或（x+1）²+（y-1）²=2．
∴使代數式a²-b²-2b+4取得最小值時，對應的圓為
（x-1）²+（y-1）²=2，或（x+1）²+（y-1）²=2．
分析：設出圓心坐標為P（a，b），半徑為r，則點P到x軸，y軸的距離分別為|b|，|a|．利用弧長的比，求出∠APB．取AB的中點D，連接PD，取圓P截y軸的弦的中點C，連接PC，PE．通過1+a²=r²，求解a²-b²-2b+4取得最小值，求出對應的圓的方程．
點評：本題考查當直線與圓相離時，圓上的點到直線的最大距離為d+r，最小距離為d-r，其中d為圓心到直線的距離．是解題的關鍵．當直線與圓相交時，設弦長為l，弦心距為d，半徑為r，則有（）²+d²=r²．這是必須掌握的知識點．