Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且2S_n=9-a_n，b_n=3-2log₃a_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令c_n=

b n

a n

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（Ⅲ）證明：當(dāng)n≥2時(shí)，a_2nb_n＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）：由2S_n=9-a_n仿寫出2S_n-1=9-a_n-1，兩式相減得到an=

1

3

an-1(n≥2)，判定出數(shù)列{a_n}是以3為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列，利用公式求出數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由9Ⅰ）求出c_n=

b n

a n

=

1

9

(2n-1)×3n，利用錯(cuò)位相減求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（Ⅲ）利用數(shù)列單調(diào)性的定義，判定出數(shù)列{a_2nb_n}為單調(diào)遞減數(shù)列；求出數(shù)列的最大值為 a₂b₁，證明出不等式．

解答： 解（Ⅰ）：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且2S_n=9-a_n①，
∴n≥2時(shí)，2S_n-1=9-a_n-1②，
①-②得2a_n=-a_n+a_n-1（n≥2），
∴an=

1

3

an-1(n≥2)
又∵n=1時(shí)2S₁=2a₁=9-a₁，
∴a₁=3
∴數(shù)列{a_n}是以3為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列，
∴an=3•(

1

3

)n-1=32-n；
b_n=3-2log₃a_n=2n-1，
∴{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．
∴an=32-n，bn=2n-1
（Ⅱ）∵c_n=

b n

a n

=

1

9

(2n-1)×3n，
∴Tn=

1

9

[1×31+3×32+…+(2n-3)×3n-1+（2n-1）×3ⁿ]③
3Tn=

1

9

[1×32+3×33+…+(2n-3)×3n+（2n-1）×3ⁿ⁺¹]④
③-④得-2Tn=

1

9

[1×3+2(32+33+…+3n)-（2n-1）×3ⁿ⁺¹]
=

1

9

[3+

18(1-3n-1)

1-3

-(2n-1)×3n+1]
=

1

3

[(2-2n)3n-2]
∴Tn=(n-1)•3n-1+

1

3

（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知a_2nb_n=9×(

1

3

)2n×(2n-1)
∵a_2（n+1）b_n+1-a_2nb_n=9(

1

3

)2n+2×(2n+1)-9(

1

3

)2n×(2n-1)=(

1

3

)2n(10-16n)＜0
∴數(shù)列{a_2nb_n}為單調(diào)遞減數(shù)列；
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_2nb_n＜a₂b₁=1即當(dāng)n≥2時(shí)，a_2nb_n＜1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查已知數(shù)列的遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式的知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．準(zhǔn)確運(yùn)用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式，利用錯(cuò)位相減法求和，是解決本題的關(guān)鍵．