Question

【題目】已知函數(shù)，其中為正實(shí)數(shù).

討論函數(shù)的單調(diào)性；

若存在，使得不等式成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；.

【解析】

由題意可知的定義域?yàn)?/span>，， 令，得，，分類討論，，時(shí)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性；

若存在，使得不等式成立，則時(shí)，.由可知，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，；當(dāng)，即時(shí)，由知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，，不成立，進(jìn)而得出結(jié)論.

解：的定義域?yàn)?/span>.

.

令，得，.

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，

令，得，或；

令，得，

故在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，恒成立，故在區(qū)間上單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，令，得，或；

令，得，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

綜上所述：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

若存在，

使得不等式成立，

則時(shí)，.

由可知，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

，解得，

；

當(dāng)，即時(shí)，

由知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

.

令，

，

則，

函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.

恒成立，.

當(dāng)，即時(shí)，

函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

，不成立.

綜上所述，的取值范圍是.