Question

（2012•福建模擬）已知F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為平面內(nèi)的兩個定點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足|PF1|+|PF2|=2

2

，記點(diǎn)P的軌跡為曲線Γ．
（Ⅰ）求曲線Γ的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C是曲線Γ上的不同三點(diǎn)，且

OA

+

OB

+

OC

=

0

．
（�。┰囂骄浚褐本�AB與OC的斜率之積是否為定值？證明你的結(jié)論；
（ⅱ）當(dāng)直線AB過點(diǎn)F₁時，求直線AB、OC與x軸所圍成的三角形的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的定義，可知點(diǎn)P的軌跡是以F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓，進(jìn)而可得曲線Γ的方程；
（Ⅱ）將

OA

+

OB

+

OC

=

0

轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的關(guān)系．（�。┰O(shè)直線AB的方程代入橢圓方程并整理，利用韋達(dá)定理，確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用斜率公式可得直線AB與OC的斜率之積為定值；（ⅱ）先判斷直線AB的斜率存在，確定點(diǎn)C的坐標(biāo)代入橢圓方程，可求k的值，進(jìn)而分類求出直線AB、OC與x軸所圍成的三角形的面積．

解答：解：（Ⅰ）由條件可知，點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）的距離之和為定值2

2

，
所以點(diǎn)P的軌跡是以F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓．…（2分）
又a=

2

，c=1，所以b=1，
故所求方程為

x2

2

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）．
由

OA

+

OB

+

OC

=

0

，得x₁+x₂+x₃=0，y₁+y₂+y₃=0．…（5分）
（�。┛稍O(shè)直線AB的方程為y=kx+n（k≠0），
代入x²+2y²=2并整理得，（1+2k²）x²+4knx+2n²-2=0，
依題意，△＞0，則 x1+x2=-

4kn

1+2k2

，y1+y2=k(x1+x2)+2n=

2n

1+2k2

，
從而可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(

4kn

1+2k2

，-

2n

1+2k2

)，kOC=-

1

2k

．
因為kAB•kOC=-

1

2

，所以直線AB與OC的斜率之積為定值．…（8分）
（ⅱ）若AB⊥x軸時，A(-1，

2

2

)，B(-1，-

2

2

)，由

OA

+

OB

+

OC

=

0

，
得點(diǎn)C（2，0），所以點(diǎn)C不在橢圓Γ上，不合題意．
因此直線AB的斜率存在．…（9分）
由（�。┛芍�，當(dāng)直線AB過點(diǎn)F₁時，有n=k，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(

4k2

1+2k2

，-

2k

1+2k2

)．
代入x²+2y²=2得，

16k4

(1+2k2)2

+

8k2

(1+2k2)2

=2，即4k²=1+2k²，
所以k=±

2

2

．                   …（11分）
（1）當(dāng)k=

2

2

時，由（�。┲�，k•kOC=-

1

2

，從而kOC=-

2

2

．
故AB、OC及x軸所圍成三角形為等腰三角形，其底邊長為1，且底邊上的高h=

1

2

×

2

2

=

2

4

，所求等腰三角形的面積S=

1

2

×1×

2

4

=

2

8

．
（2）當(dāng)k=-

2

2

時，又由（�。┲�，k•kOC=-

1

2

，從而kOC=

2

2

，
同理可求直線AB、OC與x軸所圍成的三角形的面積為

2

8

．
綜合（1）（2），直線AB、OC與x軸所圍成的三角形的面積為

2

8

．…（13分）

點(diǎn)評：本小題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等．