Question

如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)E、F在圓O上，矩形ABCD所在的平面和圓O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．
（1）求證：AF⊥平面CBF；
（2）求三棱錐C-OEF的體積．

Answer 1

分析：（1）欲證AF⊥平面CBF，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AF與平面CBF內(nèi)兩相交直線垂直，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知CB⊥平面ABEF，而AF?平面ABEF，則AF⊥CB，而AF⊥BF，滿足定理所需條件；
（2）由面面垂直的性質(zhì)可知CB⊥平面ABEF，即棱錐的高為CB，根據(jù)正△OEF的邊長(zhǎng)為半徑，可求出底面面積，然后根據(jù)三棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可．

解答：證明：（1）∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，
平面ABCD∩平面ABEF=AB
∴CB⊥平面ABEF∵AF?平面ABEF
∴AF⊥CB
又AB為圓O的直徑∴AF⊥BF
∴AF⊥平面CBF
解：（2）過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB于G
∵平面ABCD⊥平面ABEF，
∴FG⊥平面ABCD，F(xiàn)G即正△OEF的高
∴FG=

3

2

∴S_△OBC=

1

2

（2）解：由（1）知CB⊥平面ABEF，即CB⊥平面OEF，
∴三棱錐C-OEF的高是CB，
∴CB=AD=1，…（8分）
連接OE、OF，可知OE=OF=EF=1
∴△OEF為正三角形，
∴正△OEF的高是

3

2

，…（10分）
∴三棱錐C-OEF的體積v=

1

3

•CB•S_△OEF=

3

12

，…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面垂直的判定，棱錐的體積，其中熟練掌握空間線線垂直，線面垂直與面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化是解答的關(guān)鍵．