【答案】
分析:(1)設(shè)函數(shù)f(x)有零點(diǎn)為事件A,由于m、n都是從集合{1,2,3}中任取的數(shù)字,依題意得所有的基本事件個(gè)數(shù)為N=9.若函數(shù)f(x)=x
2-4mx+4n
2有零點(diǎn),
則△=16m
2-16n
2≥0,化簡可得m≥n.用列舉法求得事件A所含的基本事件共有6個(gè),由此可得事件A的概率.
(2)①設(shè)函數(shù)f(x)=x
2-4mx+4n
2在區(qū)間[2,4]上為單調(diào)函數(shù)為事件B,依題意得所有基本事件構(gòu)成的區(qū)域面積為S
Ω=9.則構(gòu)成事件B的區(qū)域
,
由此求得事件B的概率.
②設(shè)在區(qū)間[0,4]內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)x,y,“x
2+y
2>(m-n)
2恒成立”為事件C,則事件C等價(jià)于“x
2+y
2>9”,求得全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域Ω的面積為16,
而事件C所構(gòu)成的區(qū)域B構(gòu)成的區(qū)域面積
,根據(jù)P(C)=
,運(yùn)算求得結(jié)果.
解答:解:(1)設(shè)函數(shù)f(x)有零點(diǎn)為事件A,由于m、n都是從集合{1,2,3}中任取的數(shù)字,依題意得
所有的基本事件為(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),
(3,2),(3,3),其中第一個(gè)數(shù)表示m的取值,第二個(gè)數(shù)表示n的取值,即基本事件總數(shù)為N=9.
若函數(shù)f(x)=x
2-4mx+4n
2有零點(diǎn),則△=16m
2-16n
2≥0,化簡可得m≥n.
故事件A所含的基本事件為(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),共計(jì)6個(gè)基本事件,
則
.…(5分)
(2)①設(shè)m、n都是從區(qū)間[1,4]中任取的數(shù)字,設(shè)函數(shù)f(x)=x
2-4mx+4n
2在區(qū)間[2,4]上為單調(diào)函數(shù)為事件B,
依題意得,所有的基本事件構(gòu)成的區(qū)域
,故所有基本事件構(gòu)成的區(qū)域面積為S
Ω=9.
若函數(shù)f(x)=x
2-4mx+4n
2在區(qū)間[2,4]上為單調(diào)函數(shù),則對稱軸方程為2≤2m≤4,求得1≤m≤2.
則構(gòu)成事件B的區(qū)域
,如圖所示(陰影部分表示事件B).
則
.…(9分)
②設(shè)在區(qū)間[0,4]內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)x,y,“x
2+y
2>(m-n)
2恒成立”為事件C,則事件C等價(jià)于“x
2+y
2>9”,
(x,y)可以看成平面中的點(diǎn),則全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域Ω={(x,y)|0≤x≤4,0≤y≤4,x,y∈R},
而事件C所構(gòu)成的區(qū)域B={(x,y)|x
2+y
2>9,(x,y)∈Ω }.如圖所示(陰影部分表示事件C)
S
Ω=4×4=16,
,∴P(C)=
=
=1-
π. …(14分)
點(diǎn)評:本題主要考查幾何概型、古典概型及其概率計(jì)算公式的應(yīng)用,列舉法,是解決古典概型問題的一種重要的解題方法,屬于基礎(chǔ)題.