已知函數(shù)f(x)=x3-(2a+1)x2+3a(a+2)x+1,a∈R。
(1)當a=0時,求曲線y=f(x)在點(3,f(3))處的切線方程;
(2)當a=-1時,求函數(shù)y=f(x)在[0,4]上的最大值和最小值;
(3)當函數(shù)y=f′(x)在(0,4)上有唯一的零點時,求實數(shù)a的取值范圍.

解:(1)當a=0時,,∴f(3)=1,
,曲線在點(3,1)處的切線的斜率,
∴所求的切線方程為y-1=3(x-3),即y=3x-8。
(2)當a=-1時,函數(shù),
,令f′(x)=0得,,
當x∈(0,1)時,f′(x)<0,即函數(shù)y=f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,
當x∈(1,4)時,f′(x)>0,即函數(shù)y=f(x)在(1,4)上單調(diào)遞增,
∴函數(shù)y=f(x)在[0,4]上有最小值,;
,
∴當a=-1時,函數(shù)y=f(x)在[0,4]上的最大值和最小值分別為。
(3)∵,
,
①當時,3a=a+2,解得a=1,這時,
函數(shù)y=f′(x)在(0,4)上有唯一的零點,故a=1為所求;
②當時,即,這時,
又函數(shù)y=f′(x)在(0,4)上有唯一的零點,

③當時,即a<1,這時,
又函數(shù)y=f′(x)在(0,4)上有唯一的零點,

綜上得當函數(shù)y=f′(x)在(0,4)上有唯一的零點時,或a=1。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
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科目:高中數(shù)學 來源:浙江省東陽中學高三10月階段性考試數(shù)學理科試題 題型:022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a,b]上連續(xù)不斷,f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),其中,min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值,若存在最小正整數(shù)k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)對任意的x∈[a,b]成立,則稱函數(shù)f(x)為[a,b]上的“k階收縮函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=x2,x∈[-1,4]為[-1,4]上的“k階收縮函數(shù)”,則k的值是_________.

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已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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C.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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