Question

如果一個(gè)函數(shù)f（x）在其定義區(qū)間內(nèi)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都滿(mǎn)足，則稱(chēng)這個(gè)函數(shù)是下凸函數(shù)，下列函數(shù)
（1）f（x）=2^x；
（2）f（x）=x³；
（3）f（x）=log₂x（x＞0）；
（4）
中是下凸函數(shù)的有（ ）
A．（1），（2）
B．（2），（3）
C．（3），（4）
D．（1），（4）

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)函數(shù)f（x）在其定義區(qū)間內(nèi)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都滿(mǎn)足，可得f″（x）≥0，再對(duì)四個(gè)函數(shù)分別求導(dǎo)，即可得到結(jié)論．
解答：解：∵函數(shù)f（x）在其定義區(qū)間內(nèi)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都滿(mǎn)足，
∴f″（x）≥0
（1）f（x）=2^x，則f′（x）=2^x•ln2，∴f″（x）=2^x•ln²2＞0，∴函數(shù)是下凸函數(shù)；
（2）f（x）=x³，則f′（x）=3x²，∴f″（x）=6x，∴函數(shù)不是下凸函數(shù)；
（3）f（x）=log₂x，則f′（x）=，∴f″（x）=-＜0，∴函數(shù)不是下凸函數(shù)；
（4）x＜0時(shí)，f′（x）=1，∴f″（x）=0；x≥0時(shí)，f′（x）=2，∴f″（x）=0，∴函數(shù)是下凸函數(shù)
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．