Question

已知兩條直線l₁（3+m）x+4y=5-3m，l₂ 2x+（5+m）y=8．當(dāng)m分別為何值時(shí)，l₁與l₂：（1）相交？（2）平行？（3）垂直？

Answer 1

分析：（1）利用直線不平行，直線即可相交，推出m的范圍．
（2）通過直線的斜率相等，截距不相等，判斷直線平行，求出m的值．
（3）當(dāng)兩條直線的斜率乘積是-1時(shí)，兩條直線垂直，求出1的值．

解答：解：當(dāng)m=-5時(shí)，顯然l₁與l₂相交；當(dāng)m≠-5時(shí)，易得兩直線l₁和l₂的斜率分別為
k₁=-

3+m

4

，k₂=-

2

5+m

，它們在y軸上的截距分別為b₁=

5-3m

4

，b₂=

8

5+m

．
（1）由k₁≠k₂，得-

3+m

4

≠-

2

5+m

，m≠-7且m≠-1．
∴當(dāng)m≠-7且m≠-1時(shí)，l₁與l₂相交．
（2）由

k1=k2 b1≠b2

，得

- 3+m 4 =- 2 5+m 5-3m 4 ≠ 8 5+m

解得m=-7．∴當(dāng)m=-7時(shí)，l₁與l₂平行．
（3）由k₁k₂=-1，得-

3+m

4

•（-

2

5+m

）=-1，解得m=-

13

3

．∴當(dāng)m=-

13

3

時(shí)，l₁與l₂垂直．

點(diǎn)評(píng)：此題為中檔題，要求學(xué)生會(huì)利用代數(shù)的方法研究圖象的位置關(guān)系，做此題時(shí)直線的斜率是否存在，分情況討論得到所求的范圍．