Question

已知點A、B在拋物線，則直線AB恒過

1. A.
   （2，0）
2. B.
   （0，2）
3. C.
   
4. D.
   （）

Answer 1

D
分析：設(shè)出直線AB的方程為y=kx+b，再設(shè)出點A和B的坐標(biāo)，根據(jù)•=0，根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則得到一個關(guān)于橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積和的關(guān)系式，把A和B的坐標(biāo)代入拋物線后，兩式相乘得到兩點縱坐標(biāo)之積，將之積代入化簡得到的關(guān)系中求出兩點橫坐標(biāo)之積，然后聯(lián)立直線AB與拋物線解析式，消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理求出兩橫坐標(biāo)之積，兩者相等列出關(guān)于b的方程，求出方程的解即可得到b的值，由直線AB恒過（0，b），把b的值代入即可確定出點的坐標(biāo)．
解答：設(shè)直線AB的方程為：y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
根據(jù)•=0，得到x₁x₂+y₁y₂=0，
將A和B代入拋物線方程得：y₁=2x₁²，y₂=2x₂²，則y₁y₂=4（x₁x₂）²，
代入得：x₁x₂（4x₁x₂+1）=0，
由x₁x₂≠0，解得x₁x₂=-，
聯(lián)立直線AB與拋物線方程得：，
消去y得：2x²-kx-b=0，
當(dāng)△=k²+8b≥0時，x₁x₂=-，
所以-=-，解得b=，
則直線AB的方程為y=kx+，恒過（0，）．
故選D
點評：此題考查了平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，直線與雙曲線的綜合，以及韋達(dá)定理．熟練掌握平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則及韋達(dá)定理是解本題的關(guān)鍵．