Question

13．?dāng)?shù)列{log_ka_n}是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列，其中k＞0，且k≠1，設(shè)c_n=a_nlga_n，若{c_n}中的每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為$（0，\frac{\sqrt{6}}{3}）$∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：log_ka_n=2n+2，解出a_n=k²ⁿ⁺²．可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=k²．可得c_n=a_nlga_n=（2n+2）•k²ⁿ⁺²lgk．要使c_n＜c_n+1對(duì)?n∈N^*恒成立，化為：（n+1）lgk＜（n+2）•k²•lgk．對(duì)k分類(lèi)討論即可得出．

解答 解：∵log_ka_n=4+2（n-1）=2n+2，∴a_n=k²ⁿ⁺²．
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{k}^{2（k+1）+2}}{{k}^{2n+2}}$=k²．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為k⁴，公比為k²．
∴c_n=a_nlga_n=（2n+2）•k²ⁿ⁺²lgk．
要使c_n＜c_n+1對(duì)?n∈N^*恒成立，∴（2n+2）•k²ⁿ⁺²lgk＜（2n+4）k²ⁿ⁺⁴•lgk，化為：（n+1）lgk＜（n+2）•k²•lgk．
當(dāng)k＞1時(shí)，lgk＞0，化為：（n+1）＜（n+2）•k²．此式恒成立．
當(dāng)0＜k＜1時(shí)，lgk＜0，化為：（n+1）＞（n+2）•k²．對(duì)n∈N^*恒成立，只需k²＜$（\frac{n+1}{n+2}）_{min}$，
∵$\frac{n+1}{n+2}$=1-$\frac{1}{n+2}$單調(diào)遞增，∴當(dāng)n=1時(shí)，$（\frac{n+1}{n+2}）_{min}$=$\frac{2}{3}$．
∴k²$＜\frac{2}{3}$，且0＜k＜1，∴$0＜k＜\frac{\sqrt{6}}{3}$．
綜上可得：$（0，\frac{\sqrt{6}}{3}）$∪（1，+∞）．
故答案為：$（0，\frac{\sqrt{6}}{3}）$∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的單調(diào)性、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．