Question

已知f(x)=

ax+1

x-1

，x∈（1，+∞），f（2）=3
（1）求a；
（2）判斷并證明函數(shù)單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數(shù)的解析式，將x=2，f（2）=3代入構(gòu)造a的方程，解方程可得答案．
（2）任取1＜x₁＜x₂，我們構(gòu)造出f（x₂）-f（x₁）的表達(dá)式，根據(jù)實數(shù)的性質(zhì)，我們易出f（x₂）-f（x₁）的符號，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，得到答案．

解答：解：（1）∵f(x)=

ax+1

x-1

，x∈（1，+∞），f（2）=3
∴3=

2a+1

2-1

，
解得a=1．
（2）∴f(x)=

x+1

x-1

=1+

2

x-1

．
函數(shù)f(x)=1+

2

x-1

在區(qū)間（1，+∞）是單調(diào)減函數(shù)．理由如下：
設(shè)1＜x₁＜x₂，f（x₂）-f（x₁）=

2

x2-1

-

2

x1-1

=

2(x1-x2)

(x1-1)(x2-1)

因為1＜x₁＜x₂，，所以x₁-x₂＜0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
所以f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）
所以函數(shù)f(x)=1+

2

x-1

在區(qū)間（1，+∞）是單調(diào)減函數(shù)．

點評：本題主要考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，其中作差法（定義法）證明函數(shù)的單調(diào)性是我們中學(xué)階段證明函數(shù)單調(diào)性最重要的方法，一定要掌握其解的格式和步驟．