設(shè)函數(shù)f(x)=數(shù)學(xué)公式+xlnx,g(x)=x3-x2-3.
(I)如果存在x1、x2∈[0,2],使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求滿足上述條件的最大整數(shù)M;
(II)如果對(duì)于任意的s、t∈[數(shù)學(xué)公式,2],都有f(s)≥g(t)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍..

解:(I)存在x1、x2∈[0,2],使得g(x1)-g(x2)≥M成立等價(jià)于g(x)max-g(x)min≥M
∵g(x)=x3-x2-3,∴
∴g(x)在(0,)上單調(diào)遞減,在(,2)上單調(diào)遞增
∴g(x)min=g()=-,g(x)max=g(2)=1
∴g(x)max-g(x)min=
∴滿足的最大整數(shù)M為4;
(II)對(duì)于任意的s、t∈[,2],都有f(s)≥g(t)成立等價(jià)于f(x)≥g(x)max
由(I)知,在[,2]上,g(x)max=g(2)=1
∴在[,2]上,f(x)=+xlnx≥1恒成立,等價(jià)于a≥x-x2lnx恒成立
記h(x)=x-x2lnx,則h′(x)=1-2xlnx-x且h′(1)=0
∴當(dāng)時(shí),h′(x)>0;當(dāng)1<x<2時(shí),h′(x)<0
∴函數(shù)h(x)在(,1)上單調(diào)遞增,在(1,2)上單調(diào)遞減,
∴h(x)max=h(1)=1
∴a≥1
分析:(I)存在x1、x2∈[0,2],使得g(x1)-g(x2)≥M成立等價(jià)于g(x)max-g(x)min≥M;
(II)對(duì)于任意的s、t∈[,2],都有f(s)≥g(t)成立等價(jià)于f(x)≥g(x)max,進(jìn)一步利用分離參數(shù)法,即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用、由不等式恒成立求解參數(shù)范圍,考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想,這種常規(guī)的數(shù)學(xué)思想方法值得研究.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
,求a的值;
(2)關(guān)于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個(gè),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)對(duì)于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實(shí)數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設(shè)a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳,若存在非零實(shí)數(shù)t,使得對(duì)于任意x∈C(C⊆A),有x+t∈A,且f(x+t)≤f(x),則稱f(x)為C上的t低調(diào)函數(shù).如果定義域?yàn)閇0,+∞)的函數(shù)f(x)=-|x-m2|+m2,且 f(x)為[0,+∞)上的10低調(diào)函數(shù),那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是( 。
A、[-5,5]
B、[-
5
,
5
]
C、[-
10
,
10
]
D、[-
5
2
5
2
]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x+2)=f(x)恒成立;當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x3-4x+3.有下列命題:
f(-
3
4
) <f(
15
2
)

②當(dāng)x∈[-1,0]時(shí)f(x)=x3+4x+3;
③f(x)(x≥0)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)由小到大構(gòu)成一個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列;
④關(guān)于x的方程f(x)=|x|在x∈[-3,4]上有7個(gè)不同的根.
其中真命題的個(gè)數(shù)為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:徐州模擬 題型:解答題

設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
,求a的值;
(2)關(guān)于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個(gè),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)對(duì)于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實(shí)數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設(shè)a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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