Question

在直角梯形EFCB中，EF∥BC，EF=BE=

1

2

BC=2，∠BEF=90°，點A是平面BEF外一點，AE⊥面BCFE，且AE=BE，若G、M分別是BC、AG的中點，
（1）求證：AE∥平面BMF；
（2）求二面角G-MF-C的平面角的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連接BF、GE，BF∩GE=0，連接OM，證明OM∥AE，由線面平行的判定定理可證AE∥平面BMF；
（2）利用面積射影法，求出S_△MFC、S_△OGC，即可求出二面角G-MF-C的平面角的余弦值．

解答： （1）證明：連接BF、GE，BF∩GE=0，連接OM，
∵EF∥BC，EF=BE=

1

2

BC=2，G是BC的中點，∠BEF=90°，
∴四邊形EFGB為正方形，∠BFG=∠GFC=45°，
∴CF⊥BF，
∴O是EG的中點，
∵M是AG的中點，
∴OM∥AE，
∵AE?平面BMF，OM?平面BMF，
∴AE∥平面BMF；
（2）解：在△ABG中，cos∠AGB=

BG

AG

=

2

2 3

=

3

3

，
△MGC中，MG=

3

，CG=2，∴MC=

3+4-2• 3 •2•(- 3 3 )

=

3

，
∴CF上的高為

3-2

=1，
∴S_△MFC=

1

2

•2

2

•1=

2

，
∵OM∥AE，AE⊥面BCFE，
∴OM⊥面BCFE，
∴S_△OGC=

1

2

•2•1=1，
∴二面角G-MF-C的平面角的余弦值為

S△OGC

S△MFC

=

1

2

=

2

2

．

點評：本題考查了線面平行的證明，考查面面角的計算，考查了學(xué)生的推理論證能力，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．