Question

已知一條拋物線和一個(gè)橢圓都經(jīng)過點(diǎn)M（1，2），它們在x軸上具有相同的焦點(diǎn)F₁，且兩者的對稱軸都是坐標(biāo)軸，拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求拋物線的方程和橢圓方程；
（2）假設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)是F₂，經(jīng)過F₂的直線l與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，且滿足，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意可設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），
把M（1，2）點(diǎn)代入方程得：拋物線方程為y²=4x…（2分）
所以F₁（1，0），
設(shè)橢圓方程為，
∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)M，橢圓的焦點(diǎn)F₁（1，0），
∴
∴，
∴橢圓方程為…（6分）
（2）橢圓的焦點(diǎn)F₁（1，0），另一個(gè)焦點(diǎn)為F₂（-1，0），
設(shè)直線的方程為y=k（x+1），聯(lián)立方程得，
消去y得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
因?yàn)橹本�l與拋物線相交于P、Q兩點(diǎn)，所以，解得-1＜k＜1且k≠0…（9分）
設(shè)P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂），則，
由得（x₁+1，y₁）=m（x₂+1，y₂），所以，
∵P、Q為不同的兩點(diǎn)，∴，
即，∴
解得，
∴…（12分）
即，
∵0＜k²＜1，
∴，即
∴m＞0且m≠1…（14分）
分析：（1）假設(shè)拋物線、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用拋物線和一個(gè)橢圓都經(jīng)過點(diǎn)M（1，2），它們在x軸上具有相同的焦點(diǎn)F₁，即可求得拋物線的方程和橢圓方程；
（2）設(shè)直線的方程為y=k（x+1），聯(lián)立方程得，消去y得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，根據(jù)直線l與拋物線相交于P、Q兩點(diǎn)，確定k的范圍，利用，可得，利用k的范圍，即可求得m的取值范圍．
點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查拋物線、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是確定k的范圍，找出k，m的關(guān)系，綜合性強(qiáng)