Question

已知S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且a₁=1，．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（3）設(shè)數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）在中，分別令n=1、2、3即可求得a₂，a₃，a₄的值；
（2）累乘法：n＞1時(shí)，由na_n+1=2S_n①，得（n-1）a_n=2S_n-1②，①-②化簡(jiǎn)得na_n+1=（n+1）a_n，即（n＞1），則，由此可得a_n=n（n＞1），注意驗(yàn)證a₁；
（3）裂項(xiàng)相消法：由（2）可求得，各項(xiàng)按此規(guī)律展開(kāi)即可求得T_n；
解答：解：（1）由得，a₂=2a₁=2，2a₃=2S₂，則a₃=a₁+a₂=3，
由3a₄=2S₃=2（a₁+a₂+a₃），得a₄=4；
（2）當(dāng)n＞1時(shí)，由na_n+1=2S_n①，得（n-1）a_n=2S_n-1②，
①-②得na_n+1-（n-1）a_n=2（S_n-S_n-1），化簡(jiǎn)得na_n+1=（n+1）a_n，
∴（n＞1）．
∴a₂=2，，…，，
以上（n-1）個(gè)式子相乘得（n＞1），
又a₁=1，∴；
（3）∵，
∴
=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查由數(shù)列遞推式求通項(xiàng)公式、數(shù)列求和等知識(shí)，若數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：=f（n），則往往利用累乘法求a_n；若{a_n}為等差數(shù)列，公差d≠0，則數(shù)列{}的前n項(xiàng)和用裂項(xiàng)相消法求解，其中=．