Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在點(diǎn)（1，-2）處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a≥

1

2

時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=f（x）-

1-a

x

+1，在函數(shù)g（x）的圖象上取兩定點(diǎn)A（x₁，g（x₁）），B（x₂，g（x₂））（x₁＜x₂），設(shè)直線AB的斜率為k，證明：存在x₀∈（x₁，x₂），使g′（x₀）=k成立．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=1代入原函數(shù)解析式，求出在x=1時(shí)的導(dǎo)數(shù)，由直線方程的點(diǎn)斜式可得切線方程；
（Ⅱ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，f′(x)=-

ax2-x+1-a

x2

，再令h（x）=ax²-x+1-a，對a分類分析該二次函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的符號從而得到f′（x）在不同區(qū)間內(nèi)的符號，進(jìn)一步得到原函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）把f（x）的解析式代入g（x）=f（x）-

1-a

x

+1，由兩點(diǎn)式寫出AB的斜率k，構(gòu)造函數(shù)φ（x）=g′（x₀）-k，求解φ（x₁），φ（x₂）的值，然后求導(dǎo)分析函數(shù)F（t）=t-1-lnt的單調(diào)性，進(jìn)一步分析得到F（t）的符號，從而得到φ（x₁）＞0，φ（x₂）＜0，由函數(shù)φ（x）在區(qū)間（x₁，x₂）上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，說明存在x₀∈（x₁，x₂），使φ（x₀）=0，∴g′（x₀）=k成立．

解答： （Ⅰ）解：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lnx-x-1，f′(x)=

1

x

-1，
∵點(diǎn)（1，-2）在函數(shù)圖象上，
∴在點(diǎn)（1，-2）的切線斜率為k=f′（1）=0，
∴所求切線方程為y=-2；
（Ⅱ）解：∵f(x)=lnx-ax+

1-a

x

-1(a∈R)，
∴f′(x)=

1

x

-a-

1-a

x2

=-

ax2-x+1-a

x2

，x∈(0，+∞)，
令h（x）=ax²-x+1-a，x∈（0，+∞），
當(dāng)a≥

1

2

時(shí)，由f′（x）=0，則ax²-x+1-a=0，解得x1=1，x2=

1

a

-1，
①當(dāng)a=

1

2

時(shí)，x₁=x₂，h（x）≥0恒成立，此時(shí)f′（x）≤0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
②當(dāng)

1

2

＜a＜1時(shí)，0＜

1

a

-1＜1，
x∈(0，

1

a

-1)時(shí)，h（x）＞0，此時(shí)f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
x∈(

1

a

-1，1)時(shí)，h（x）＜0，此時(shí)f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）＞0，此時(shí)f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；      
③當(dāng)a≥1時(shí)，由于

1

a

-1≤0，
x∈（0，1）時(shí)，h（x）＜0，此時(shí)f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）＞0，此時(shí)f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
綜上所述：
當(dāng)a=

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)

1

2

＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，

1

a

-1）上單調(diào)遞減，在(

1

a

-1，1)上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減；       
（Ⅲ）證明：由已知得g（x）=lnx-ax，k=

g(x2)-g(x1)

x2-x1

=

lnx2-lnx1

x2-x1

-a，
令φ（x）=g′(x)-k=

1

x

-

lnx2-lnx1

x2-x1

，
則φ（x₁）=

1

x1

-

lnx2-lnx1

x2-x1

=

1

x2-x1

(

x2

x1

-1-ln

x2

x1

)，
φ（x₂）=

1

x2

-

lnx2-lnx1

x2-x1

=-

1

x2-x1

(

x1

x2

-1-ln

x1

x2

)，
令F（t）=t-1-lnt，則F′(t)=1-

1

t

=

t-1

t

(t＞0)，
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，F(xiàn)′（t）＜0，F(xiàn)（t）單調(diào)遞減；
當(dāng)t＞1時(shí)，F(xiàn)′（t）＞0，F(xiàn)（t）單調(diào)遞增．
故當(dāng)t≠1時(shí)，F(xiàn)（t）＞F（1）=0，即t-1-lnt＞0．
從而

x2

x1

-1-ln

x2

x1

＞0，

x1

x2

-1-ln

x1

x2

＞0，
∴φ（x₁）＞0，φ（x₂）＜0．
∵函數(shù)φ（x）在區(qū)間（x₁，x₂）上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，
∴存在x₀∈（x₁，x₂），使φ（x₀）=0，
∴g′（x₀）=k成立．

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力、分析問題解決問題的能力，考查了分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法．是高考試卷中的壓軸題．