Question

已知二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式．
（2）畫出函數(shù)的圖象．
（3）根據(jù)圖象求函數(shù)在區(qū)間[-1，2]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，利用f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1，求出a，b，c，即可求f（x）的解析式．
（2）確定對稱軸、頂點(diǎn)，可得函數(shù)的圖象．
（3）根據(jù)圖象求函數(shù)在區(qū)間[-1，2]上的最大值．

解答： 解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax²+bx+1．---------（2分）
∵f（x+1）-f（x）=2x，
∴a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2x．------------------------（4分）
即2ax+a+b=2x，所以

2a=2 a+b=0

，∴

a=1 b=-1

，∴f（x）=x²-x+1．-------------（6分）
（2）圖象如圖---------------------------------（9分）
（3）由圖象得函數(shù)在[-1，2]的最大值是3--------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，比較基礎(chǔ)．