Question

已知{a_n}是公差d大于零的等差數(shù)列，對(duì)某個(gè)確定的正整數(shù)k，有a₁²+a_k+1²≤M（M是常數(shù)）．
（1）若數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，a₁=2，當(dāng)k=3時(shí)，M=100，寫(xiě)出所有這樣數(shù)列的前4項(xiàng)；
（2）當(dāng)k=5，M=100時(shí)，對(duì)給定的首項(xiàng)，若由已知條件該數(shù)列被唯一確定，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）記S_k=a₁+a₂+…+a_k，對(duì)于確定的常數(shù)d，當(dāng)S_k取到最大值時(shí)，求數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）利用a₁²+a_k+1²≤M，結(jié)合a₁=2，當(dāng)k=3時(shí)，M=100，可求d的值，從而可以寫(xiě)出所有這樣數(shù)列的前4項(xiàng)；
（2）由題意，關(guān)于kd的不等式（kd）²+2a₁•kd+2a₁²-100≤0的解集是單元素集，從而可求其首項(xiàng)與公差，進(jìn)一步可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）Sk=ka1+

k(k-1)

2

d，所以kd=

2Sk

k-1

-

2k

k-1

a1，利用a₁²+a_k+1²≤M，化簡(jiǎn)可得M(k-1)2≥

2(k-1)2Sk2

k2+1

，從而有Sk≤

M(k2+1) 2

，當(dāng)且僅當(dāng)a1=

k+1

k2+1

Sk時(shí)，
S_k取到最大值，故問(wèn)題得解．

解答：解：（1）因?yàn)閐是正整數(shù)，由2²+（2+3d）²≤100得，d=1或2．…（2分）
所求的數(shù)列為2，3，4，5或2，4，6，8．…（4分），故問(wèn)題得解．
（2）由題意，關(guān)于kd的不等式（kd）²+2a₁•kd+2a₁²-100≤0的解集是單元素集，…（5分）
所以△=（2a₁）²-4（2a₁²-100）=0，解得a₁=±10．…（7分）
因?yàn)閗d＞0，所以a₁＜0，即a₁=-10，5d=-10，d=-2，所以a_n=2n-12．…（10分）
（3）Sk=ka1+

k(k-1)

2

d，所以kd=

2Sk

k-1

-

2k

k-1

a1…（11分）M≥(a1+kd)2+a12=(

k+1

k-1

a1-

2Sk

k-1

)2+a12，…（12分）
化簡(jiǎn)得M(k-1)2≥2(k2+1)a12-4Sk(k+1)a1+4Sk2=2(k2+1)[a1-

(k+1)Sk

k2+1

]2+

2(k-1)2Sk2

k2+1

…（14分）
當(dāng)a1=

k+1

k2+1

Sk時(shí)，M(k-1)2≥

2(k-1)2Sk2

k2+1

，即Sk≤

M(k2+1) 2

…（15分）
所以當(dāng)S_k取到最大值時(shí)有a1=

(k+1)Sk

k2+1

，…（16分）
即(k2+1)a1=(k+1)[ka1+

k(k-1)

2

d]，解得a1=-

1

2

k(k+1)d．…（18分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列與汗水的結(jié)合，考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，有一定的難度．