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已知是定義在上的奇函數，且當時，．

(Ⅰ)求的表達式；

(Ⅱ)判斷并證明函數在區(qū)間上的單調性．

 

【答案】

（1）；（2）答案見詳解

【解析】

試題分析：（1）此類問題的常規(guī)做法就是利用其奇偶性得出關系式，再根據當時，， 代入得表達式；（2）定義法證明或判斷函數單調性的步驟：設，則，變形（分解因式或配方等）判斷符號，確定單調性.奇函數對稱點兩邊單調性相同.

試題解析： (Ⅰ) ∵是奇函數，∴對定義域內任意的，都有       1分

令得，，即

∴當時，                          3分

又當時，，此時        5分

故                                7分

(Ⅱ) 解：函數在區(qū)間上是減函數，下面給予證明．         8分

設，則     10分

∵,∴，即    13分

故函數在區(qū)間上是減函數．                    14分

考點：1、函數奇偶性；2、分段函數單調性.

 

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數． 當a，b∈[-1，1]，且a+b≠0時，有
f(a)+f(b)a+b
＞0成立．
（Ⅰ）判斷函f（x）的單調性，并證明；
（Ⅱ）若f（1）=1，且f（x）≤m2-2bm+1對所有x∈[-1，1]，b∈[-1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數，且對于任意實數a，b都有f（a•b）=af（b）+bf（a），則（　�。�

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科目：高中數學 來源：2014屆云南省高一上學期期中數學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分12分）已知函數是定義在上的奇函數，且，

（1）確定函數的解析式；

（2）用定義證明在上是增函數；

（3）解不等式.

【解析】第一問利用函數的奇函數性質可知f(0)=0

結合條件，解得函數解析式

第二問中，利用函數單調性的定義，作差變形，定號，證明。

第三問中，結合第二問中的單調性，可知要是原式有意義的利用變量大，則函數值大的關系得到結論。

 

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年浙江省高三三月月考數學（理）試卷 題型：選擇題

已知函數是定義在R上的奇函數，且，在[0，2]上是增函

數，則下列結論：

(1)若，則；[來源:Z§xx§k.Com]

(2)若且；

(3)若方程在[-8，8]內恰有四個不同的根，則；

其中正確的有（     ）

A．0個              B．1個             C．2個               D．3個

 

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知是定義在上的不恒為零的函數，且對于任意實數都有, 則

(A)是奇函數，但不是偶函數         (B)是偶函數，但不是奇函數

(C)既是奇函數，又是偶函數         (D)既非奇函數，又非偶函

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