Question

（2013•靜安區(qū)一模）在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)點(diǎn)A、P所對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為πi、cos（2t-

π

3

）+isin（2t-

π

3

）（i為虛數(shù)單位），則當(dāng)t由

π

12

連續(xù)變到

π

4

時(shí)，向量

AP

所掃過的圖形區(qū)域的面積是

π

6

．

Answer 1

分析：當(dāng)t=

π

12

時(shí)，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為P₁（

3

2

，-

1

2

），當(dāng)t=

π

4

時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P₂（

3

2

，

1

2

）．向量

AP

所掃過的圖形區(qū)域的面積是△AP₁P₂的面積與弓形的面積之和，故向量

AP

所掃過的圖形區(qū)域的面積是扇形P₁OP₂的面積．再根據(jù)∠P₁OP₂=2×

π

6

=

π

3

，求得扇形P₁OP₂的面積．

解答：解：由題意可得，點(diǎn)P在單位圓上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，π）．
 t=

π

12

時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P₁（

3

2

，-

1

2

）； 當(dāng)t=

π

4

 時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P₂（

3

2

，

1

2

），
向量

AP

所掃過的圖形區(qū)域的面積是△AP₁P₂的面積與弓形的面積之和，
而△AP₁P₂的面積等于△OP₁P₂的面積（因?yàn)檫@兩個(gè)三角形同底且等高），
故向量

AP

所掃過的圖形區(qū)域的面積是扇形P₁OP₂的面積．
由于∠P₁OP₂=2×

π

6

=

π

3

，∴扇形P₁OP₂的面積為
等于

1

2

×

π

3

×12=

π

6

，
故答案為

π

6

．

點(diǎn)評：本題主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)之間的關(guān)系，扇形的面積公式的應(yīng)用，
屬于基礎(chǔ)題．