Question

已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)，a，b，c成等比數(shù)列．
（1）求B的取值范圍；
（2）若x=B，關(guān)于x的不等式cos2x-4sin（）sin（）+m＞0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合余弦定理及基本不等式，即可求B的取值范圍；
（2）關(guān)于x的不等式cos2x-4sin（）sin（）+m＞0恒成立，等價(jià)于關(guān)于x的不等式cos2x-4sin（）sin（）＞-m恒成立，求出左邊的最小值，即可求得m的取值范圍．
解答：解：（1）∵a、b、c成等比數(shù)列，∴b²=ac（1分）
∴cosB==（3分）
∵a²+c²≥2ac，∴cosB=≥，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取得，
∴≤cosB＜1，∴．（7分）
（2）關(guān)于x的不等式cos2x-4sin（）sin（）+m＞0恒成立，等價(jià)于關(guān)于x的不等式cos2x-4sin（）sin（）＞-m恒成立，
cos2x-4sin（）sin（）=cos2x-4sin（）cos（）
=2cosx²-2cosx-1=2（cosx-）²-（11分）
∵x=B，∴≤cosx＜1
∴2（cosx-）²-≥-
由題意有：-m＜-，即m＞（14分）
（說(shuō)明：這樣分離變量m＞2cosx-cos2x=-2cos²x+2cosx+1參照評(píng)分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查余弦定理、基本不等式，考查恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確求最值是關(guān)鍵．